DEMOSTRACIÓN POR MEDIOS VIRTUALES DE LA PERSPECTIVA (ÓPTICA) Y ESPECULARIA (CATÓPTRICA) DE EUCLIDES

Explicación por medio de imágenes de algunos de los teoremas de la Perspectiva y Especularia de Euclides. Por medio de la realización de maquetas virtuales puede hacerse la comprobación de los postulados con regla.

DE LA PERSPECTIVA

 

TEOREMA 4

Entre objetos de distancias iguales en una misma recta (BC, CD, DE, EF) los objetos que se miran más lejos, o sea con un menor ángulo parecerán menores. “Los visto bajo ángulos menores aparecen de menor tamaño”.

TEOREMA 10

Entre los planos (BC) puestos debajo del ojo (A) en que AB es perpendicular al plano, los que están más apartados parecen más altos. Esto se demuestra tirando una línea paralela a AB desde F, por lo que el punto G está más alto que H y éste que I. “Las cosas miradas por rayo visuales más altos aparecen más altas”.

TEOREMA 11

Al contrario del teorema 10 en los planos puestos más arriba del ojo, lo que está más apartado parece más bajo.

TEOREMA 15

Entre objetos de distinto tamaño (BC,DE) puestas debajo del ojo (A) , el exceso de una contra la otra será mayor cuando el ojo se acerque y menor al alejarse. BC excederá en proporción tanto BF sea a BC, al cambiar el ojo a G se verá tanto mayor como BH es a BC.

Teorema 16. Planta

TEOREMA 16

Entre las cosas que puestas sobre el ojo (BC, DE) exceden entre si, acercándose el ojo (A) el exceso de la mayor parece menor y apartándose (G) parece mayor.

Teorema 16. Vista desde punto A

Teorema 16. Vista desde punto G



Teorema 17. Planta

TEOREMA 17

Entre las cosas que se exceden entre sí, puesto el ojo sobre la menor se aleje o se acerque siempre la mayor excederá a la menor en igual exceso.

Teorema 17. Vista desde punto A

Teorema 17. Vista desde punto G

TEOREMA 19

Conocer la cantidad de una altura dada. Sea AB una altura que se quiere conocer, poniéndose el espejo CD y el ojo E del cual sale EF que se refleja en el termino A , y al trazarse una perpendicular de E a G los ángulos EFG serán iguales a AFB por lo que se podrá conocer la altura.

Teorema 19. Alzado

Teorema 19. Vista desde punto E

Teorema 20. Alzado

TEOREMA 20

Conocer la cantidad de una profundidad dada. Sea BC la profundidad poniendo el ojo en A se traza el rayo ACE, de A se tira una paralela a BC hasta el plano BD, los ángulos del triángulo ADE serán equiángulos ha EBC.

Teorema 21. Alzado

TEOREMA 21

Para conocer la cantidad de una longitud dada, sea BC la longitud que se quiere conocer, el ojo A del cual se tiran los rayos AB, AC y se traza una paralela a BC (D,F) la cual se conoce y así se conocerá BC.

TEOREMA 24

El ojo entre más cerca esté de una esfera lo que ve es menos pero parece que ve más.



Teorema 24. Planta

 De una esfera de centro B y el ojo A se traza una circunferencia de diámetro  AB, de los puntos C, D se unen rayos a A, si A se muda a E se vuelve a describir el círculo de diámetro BE del cual los rayos alcanzan F, G, al ser mayor el ángulo en E que en A, parecerá mayor. Si se ve con dos ojos y la distancia entre ellos es igual al diámetro se verá exactamente la mitad de la esfera, si la distancia es mayor se verá más de la mitad. Lo mismo se aplica a un cilindro o cono de base circular

Teorema 24. Vista desde punto A

Teorema 24. Vista desde punto E

TEOREMA 34

Teorema 34. Alzado

Si moviéndose el ojo sobre una línea recta equidistante a la superficie del cono entre más alto lo que se verá parecerá menos y abajo parecerá mayor.

Sea el cono de vértice A, en el punto E de la línea paralela a AC se verá más superficie pero parecerá menos y en F menos pero parecerá más, si se prolongan las líneas AE  y AF hasta el plano de la base, lo que se verá en H será igual que lo que se ve en E, y en G  a lo de F.

Teorema 34. Vista desde punto E

Teorema 34. Vista desde punto F

Teorema 34. Vista desde punto G

Teorema 34. Vista desde punto H

TEOREMA 36

Si el ojo (A) se pone en la extremidad de una línea recta levantada del centro del círculo (B) no en ángulo recto del plano pero si a una altura igual al radio del círculo, cualquiera de los diámetros del círculo (CD, EF) parecerán iguales.

Aunque A-B no sea del tamaño del radio, ya se mayor o menor, mientras se creen ángulos iguales con los diámetros éstos se verán iguales.

Ejemplo 1:                                                                                             Ejemplo 2:

 

TEOREMA 37

Si el rayo visual que va desde el ojo (A) al centro del círculo (B) no es perpendicular al plano, ni igual al radio,  ni hace ángulos iguales con los diámetros (CD, EF), éstos parecerán desiguales.

TEOREMA 43

Si una cosa mirada (BC)  no es perpendicular al plano y se moviera alrededor de una circunferencia siempre parecerá desigual. Esté el ojo en el centro (D)  y el objeto se mueva alrededor del círculo hasta AE éste se verá diferente.

TEOREMA 44

Existe un lugar común (A) en donde estando el ojo fijo aunque el objeto (B-C) mirado se mueva (D-E) siempre parecerá igual. Mientras el objeto B-C se mueva dentro de la circunferencia que forman los puntos ABC, ya que sus ángulos son iguales.

TEOREMA 45

Hay un lugar (A) donde la cosa vista fija (BC) sigue viéndose igual aunque el ojo se mude (D). Mientras éste se desplace en la circunferencia que forman los puntos ABC, ya que se mantiene el mismo ángulo.

TEOREMA 48

Hay un lugar común (A) donde los objetos iguales (BC, CD) parecen desiguales.

Esto se crea poniendo el ojo A en la intersección de un semicírculo que toque los puntos BC y un segmento mayor que un semicírculo tocando los puntos CD, por lo que se forman ángulos diferentes.

TEOREMA 49

Hay un lugar común (A) donde las cosas desiguales (BC,CD) parecen iguales.

Logrado poniendo el ojo en la intersección de un arco mayor que un semicírculo donde sus extremos toquen B y C y otro de menor o mayor tamaño pero guardando la misma proporción tocando C y D, por lo que se formarán ángulos iguales.

TEOREMA 50

Hay lugares desde los cuales un objeto compuesto por 2 de distinto tamaño parecen iguales cada una de ellas. Sea A  el ojo, BC mayor a CD y alrededor de éstas y de BD  un semicírculo; ya que los ángulos ABD, BCE y CDF  son todos rectos todas las piezas se verán iguales.

TEOREMA 51

Hay lugares donde una misma cosa parece la mitad, cuarta parte, etc. Sea BC igual a EF y a su alrededor descríbase una parte de un círculo creando el ángulo AEF; alrededor de BC se hace una parte del círculo que reciba un ángulo de la mitad de AEF  lo cual hará parecer a BC  mitad de EF.

TEOREMA 61

Si el rayo visual AB que sale desde la intersección de las diagonales del cuadrado, no es perpendicular al plano del cuadrado, ni igual a la mitad de la diagonal, ni hace ángulos iguales, las diagonales CD, EF parecerán desiguales.

DE LA ESPECULARIA

  

TEOREMA 1

En los espejos planos, cóncavos y convexos, los rayos visuales reflejan en ángulos iguales. Sea el ojo A  y el espejo BC  tirado el rayo visual AF refleja en el punto  D. El ángulo E y G serán iguales, por lo que al tirar las perpendiculares DB, AC  se crearán los equiángulos BDF, AFC.

  



TEOREMA 30

Un espejo se puede fabricar de tal manera que en el aparezcan muchas figuras, unas menor, otras mayores, más lejos o más cerca.  En el plano AF colocados los espejos cóncavos AB, EF, los convexos BC, DE y el plano CD; la figura G aparecerá en los planos igualmente distante, en los convexos menores y menos distantes, y en los cóncavos mayores y menores, más y menos distantes.